編者按：即日起，《青年說》欄目策劃推出“鄉(xiāng)村教育者手記”，為鄉(xiāng)村校長和教師提供一個展示自我的平臺，分享教育一線的所見所聞所感，助力鄉(xiāng)村教育先行區(qū)建設(shè)。

以下是山東沂南縣青駝鎮(zhèn)中心小學(xué)教師沈圣淋的教育手記：

去年8月21日至24日，我參加了臨沂市小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師研修班。回顧這一個月的歷程，我受益頗豐。

8月初，在張玉慶校長的帶領(lǐng)下，沂南小數(shù)團隊：張慶堂、沈圣淋、趙凱、惠鵬飛、于林玲、劉曉、薛克榮、武秋云、李靜、楊曉哲正式成立并對《小數(shù)乘小數(shù)》這一節(jié)課展開討論設(shè)計磨課，小伙伴們將自己搜集的資料陸續(xù)上傳，進行資源的整合與理解，完成自己的課堂設(shè)計。

8月21-24日，在于科長的精心布局下，真正體驗了戰(zhàn)場上沙場點兵的煎熬，整個團隊廢寢忘食，三個夜晚熬出了三個版本的設(shè)計，以前總開玩笑，“你見過凌晨四點的洛杉磯嗎？”洛杉磯沒去過，但我們一起連續(xù)三晚見過了凌晨一點的沂南星空，而《小數(shù)乘小數(shù)》便演化成為了整個星空里最璀璨的一顆。

當(dāng)一群喜歡數(shù)學(xué)的人，在一起做喜歡的事情時，所有的努力都將迎來美麗的綻放，這個過程當(dāng)中讓我對運算一致性有了更深的理解。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，有一個重要的提法：感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。

運算一致性的含義，在相關(guān)解讀文章中能看到明確的解釋：

加減法運算的一致性體現(xiàn)為：相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減，計數(shù)單位不變。

乘除法運算的一致性體現(xiàn)為：計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘除，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘除。

但乘法運算一致性的描述，則讓人產(chǎn)生了不少困惑。

顧志能老師提到：

1.乘法算理的一致性表達，令人不解

乘法運算一致性的含義，以小數(shù)乘法0.3×0.8＝0.24為例，算理為（3×0.1）×（8×0.1）＝（3×8）×（0.1×0.1）＝0.24，即計數(shù)單位0.1和0.1相乘得到新的計數(shù)單位0.01，計數(shù)單位的個數(shù)和個數(shù)相乘得到新的個數(shù)24，合起來就是24個0.01。整數(shù)乘法（如300×20）和分數(shù)乘法（如2/3×3/5），算理均可如此表達。

上述乘法的算理表達方式，是一致的，理解起來也不難。但是，乘法運算中還有其他的情況，如20×4、0.3×5、2/7×3等，這些類型的乘法，若按此思路來表達，就會讓人覺得非常“怪異”。如20×4＝80，一直以來，我們都解釋為“2個十乘4等于8個十”，算理簡單明了，但按一致性的要求，則應(yīng)以20×4＝（2×10）×（4×1）＝（2×4）×（10×1）＝80來解釋。算理如此表達，舍簡就繁，道理抽象，有何好處？更重要的是，學(xué)生能否理解和接受？

2.乘法運算中的算理依據(jù)，邏輯存疑

運算一致性，在乘法中還有邏輯上的爭議。如，三年級的兩位數(shù)乘一位數(shù)25×3，按一致性的表達，算理應(yīng)為（20＋5）×3＝20×3＋5×3＝2×10×3×1＋5×1×3×1＝（2×3）×（10×1）＋（5×3）×（1×1）……其間的轉(zhuǎn)換，明顯是用到了乘法交換律、結(jié)合律和分配律。但是，在此之前，學(xué)生應(yīng)該尚未學(xué)過這些運算定律，怎么就能直接使用了呢？據(jù)相關(guān)解讀，“在數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)的教學(xué)中，是算律確定算理，算理確定算法”[4]，從中可看出，這里用到的乘法運算定律，應(yīng)是學(xué)生已有的認知。那么，學(xué)生是何時學(xué)習(xí)這些乘法運算定律的？25×3才是新知，那說明只能在一位數(shù)乘一位數(shù)時學(xué)習(xí)，或是將乘法運算定律直接作為“公理”來使用了。問題是，這樣的教學(xué)邏輯，是否恰當(dāng)，是否有可行性？

另外，0.3×0.8＝（3×8）×（0.1×0.1）中，0.1×0.1的計算也是個麻煩事——需要依據(jù)1/10×1/10來解釋。但當(dāng)前的教材，分數(shù)運算都設(shè)置在小數(shù)運算之后。那么，這里的教學(xué)邏輯又該如何處理？

我覺得顧志能老師說得很有道理：

（1）算理分析可關(guān)聯(lián)計數(shù)單位，但不求統(tǒng)一

具體而言，在分析算理時，可根據(jù)試題的實際意義（現(xiàn)實情境），或從計數(shù)單位個數(shù)運算的角度進行分析，或從計數(shù)單位及其個數(shù)運算的角度進行分析，算理“適配”意義即可，無需統(tǒng)一。

例如，60÷3，情境是“60根小棒平均分給3個人，每人分得幾根”。引導(dǎo)學(xué)生理解為6個十除以3，只要6除以3，得到2個十，即計數(shù)單位不變，單位的個數(shù)在運算。又如，90÷30，情境是“90根小棒，每人分30根，可以分給幾個人”。引導(dǎo)學(xué)生理解為9個十除以3個十，得到商3，即計數(shù)單位運算了，計數(shù)單位的個數(shù)也運算了。

（2）算理分析可脫離計數(shù)單位，但緊扣意義

小學(xué)中有些計算的內(nèi)容，若其實際意義清楚明了，學(xué)生憑借已有知識，能夠撇開計數(shù)單位進行算法探索和算理分析，此時就可順應(yīng)學(xué)情，放手學(xué)生嘗試。

例2  □×2/3=12。

師：說一說，已知什么，求什么？

生：已知一個數(shù)的2/3是12，求這個數(shù)。（師板書）

師：求這個數(shù)的算式是——

生：12÷2/3。

師：誰來把例1的圖改一改？（筆者注：前半節(jié)課教學(xué)的例1是12×2/3，用的就是這個圖）

學(xué)生改成下圖：

師：剛才是知道3份，求2份，現(xiàn)在呢？

生：知道2份，求3份。

師：理解了，怎么算還用教嗎？試試看。

教師根據(jù)學(xué)生的交流板書：

12÷2/3=12÷2×3=12×1/2×3=12×3/2=18

師：換成其他分數(shù)，也可以這樣轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法嗎？

生：可以，照樣除以分子，乘分母。（筆者注：除以分子得到每份數(shù)，再乘份數(shù)得到總數(shù)。如此，被除數(shù)無論是整數(shù)還是分數(shù)，均適用）

師：總結(jié)一下，甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)——

生：乘乙數(shù)的倒數(shù)。

上述教學(xué)片斷不講計數(shù)單位，卻照樣把算理研究得清清楚楚。究其原因，關(guān)鍵是學(xué)生抓住了運算的意義（12÷2/3的意義及分數(shù)2/3的意義），從意義出發(fā)進行了合理表征和準(zhǔn)確推演。借助分數(shù)意義的理解來推演算理，這樣的思路是貼合學(xué)生且彰顯內(nèi)涵的，在分數(shù)乘法和分數(shù)除法的教學(xué)中很有實用性，值得借鑒。

（齊魯晚報·齊魯壹點客戶端 鞏悅悅 策劃整理）